Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，C₁D₁的中点，则A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正弦值为（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  6

  3

• C、

  1

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

分析：由正方体的几何特征，易得EF⊥平面A₁B₁C，则∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角．然后解三角形，求A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正弦值．

解答：解：连接C₁B，∵E、F分别为AB与C₁D₁的中点，
∴C₁F=BE．又C₁F∥BE，
∴C₁FEB为平行四边形．∴C₁B∥EF．而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．又四边形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF．∴B₁在平面A₁ECF上的射影在线段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，sin∠B₁A₁C=

B1C

CB1

=

6

3

．
∴A₁B₁与平面A₁ECF所成角的弦值为

6

3

．
故选B

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中证得∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键．