Question

5．如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=4，
C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：EF⊥面PAC；
（3）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

分析 （1）欲证EF∥面ABC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与面ABC内一直线平行即可，根据中位线可知EF∥BC，又BC?面ABC，EF?面ABC，满足定理所需条件；
（2）欲证EF⊥PC，可先证EF⊥面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF与面PAC内两相交直线垂直，而PA⊥面ABC，BC?面ABC，则BC⊥PA，而AB是⊙O的直径，则BC⊥AC，又PA∩AC=A，则BC⊥面PAC，满足定理条件；
（3）根据PA⊥面ABC，则PA即为三棱锥B-PAC的高，将三棱锥B-PAC的体积转化成三棱锥P-ABC的体积，根据锥体的体积公式进行求解即可．

解答 （1）证明：在△PBC中，∵E，F分别为PC，PB中点，∴EF∥BC，
又∵BC?面ABC，EF?面ABC，∴EF∥面ABC；
（2）证明：∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥PA，
∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC．
∵EF∥BC，∴EF⊥面PAC，
∵PC?面PAC，∴EF⊥PC；
（3）解：在Rt△ABC中，AC=BC=2$\sqrt{2}$，∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4，
∵PA⊥面ABC，PC与⊙O所在的平面成45°角，
∴PA=2$\sqrt{2}$，∴V_B-PAC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{2}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．