题目内容
（2013•杭州模拟）已知函数f(x)=ax+
+b（a，b∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为3，若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是（ ）
| a |
| x |
分析：先根据图象在点（1，f（1））处得切线在y轴上的截距为3，求得b=3-2a，再将f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，转化为f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立，构造新函数，再进行分类讨论，即可确定a的取值范围．
解答：解：由题意，f（1）=2a+b∵函数f（x）=ax+
+b（a，b∈R）
∴f′（x）=a-
，
∴f′（1）=0；
所以图象在点（1，f（1））处的切线为：y=f（1）=2a+b=3，
∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
设g（x）=f（x）-x=（a-1）x+
+3-2a，
∴g′（x）=a-1-
，a≤0时，x2＞1，0＜
＜1，∴0＜
-＜-a，∴a-1-
＜-1＜0；
0＜a＜1时，a-1＜0，∴-
＜0，∴a-1-
＜0；
所以a＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（x）＞0不会恒成立，不满足题意；
把a=1代入可得：g（x）=
+1＞0在（1，+∞） 上恒成立，符合条件；
a＞1时，g′（x）=0 得：x=
；
当x＞
时，g′（x）＞0；1＜x＜
时，g′（x）＜0，
所以g（x）min=g（
）＞0即可，
即：（a-1）
+
+3-2a＞0
∴2
＞2a-3．
①当1＜a≤
时，上式恒成立；
②当a＞
时，平方得：4a2-4a＞4a2-12a+9 即：a＞
；
∴a＞
时，符合题意；综上可知：a的取值范围是：[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
| a |
| x |
∴f′（x）=a-
| a |
| x2 |
∴f′（1）=0；
所以图象在点（1，f（1））处的切线为：y=f（1）=2a+b=3，
∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
设g（x）=f（x）-x=（a-1）x+
| a |
| x |
∴g′（x）=a-1-
| a |
| x2 |
| 1 |
| x2 |
| a |
| x2 |
| a |
| x2 |
0＜a＜1时，a-1＜0，∴-
| a |
| x2 |
| a |
| x2 |
所以a＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（x）＞0不会恒成立，不满足题意；
把a=1代入可得：g（x）=
| 1 |
| x |
a＞1时，g′（x）=0 得：x=
|
当x＞
|
|
所以g（x）min=g（
|
即：（a-1）
|
| a | ||||
|
∴2
| a(a-1) |
①当1＜a≤
| 3 |
| 2 |
②当a＞
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 8 |
∴a＞
| 3 |
| 2 |
故答案为：[1，+∞）．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，解题时正确分类，利用导数确定函数的单调性是关键
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