Question

（本小题满分14分）

 如图，三棱锥中，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若为线段上的点，设，问为何值时能使

直线平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

解析:

方法一：

（Ⅰ） ，

∴ ，，

 ，

∴ 平面．                         　    ……………………3分

（Ⅱ）当M为PC中点时，即时，直线平面，　　    …………4分

证明如下：

由（Ⅰ）知平面，平面，∴ ，　  ……5分

在等腰中， M为中点，∴ ，          …………6分

又，

∴ 平面．                                　   ……………8分

（Ⅲ）

由(Ⅱ)知当M为PC中点时，平面， 平面，

∴ 平面平面．                         ……………………9分

过作于，∴ 平面                                                         

作于，连结，由三垂线定理可知，．

∴ 为二面角的平面角．            ……………………11分

设，则．

在中，，

由(Ⅰ)知平面，平面，∴ ．

在中，．

由面积公式得,,             ……………12分

同理，在中，由面积公式得， ……………13分

在中，．

所以二面角的大小为．        ……………………14分

方法二：

(Ⅰ)同方法一．                                       　     …………………3分

(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．                      

设，则，  　   …………………4分

当M为PC中点时，即时，直线平面．    …………………5分

证明如下：

当M为PC中点时，．

，,．

,                    

∴ ，即．                           ………………6分

，            

∴ ，即．                            ………………7分

又，∴ 平面．                 ……………8分

（Ⅲ）可证平面．                                   

则平面法向量为，                           ……………9分

下面求平面PBC的法向量．

设平面PBC的法向量为，

,，

，

令，则，                      　    ……………………12分

．

所以二面角的大小为．           ……………………14分