Question

已知二次函数f（x）=ax²+x，对任意x∈R，总有|f(

x

x2+1

)|≤1，则实数a的最大整数值为（　　）

A．-2

B．0

C．2

D．4

Answer 1

分析：求出

x

x2+1

的范围，通过二次函数的对称轴，列出关于a的表达式，求出a的最大整数值即可．

解答：解：因为

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

∈[-

1

2

，

1

2

]，二次函数f（x）=ax²+x，
它的对称轴为x=-

1

a

，由题意二次函数f（x）=ax²+x，对任意x∈R，总有|f(

x

x2+1

)|≤1，
可知

- 1 a ≤- 1 2 f(- 1 2 ) ≤1 f( 1 2 ) ≥-1

，即：

- 1 a ≤- 1 2 a(- 1 2 )2- 1 2 ≤1   a( 1 2 )2≥-1

解得0＜a≤2，实数a的最大整数值为2．
或

- 1 a ≥ 1 2 f(- 1 2 ) ≥-1 f( 1 2 ) ≤1

即

- 1 a ≥ 1 2 a(- 1 2 )2- 1 2 ≥-1  a( 1 2 )2≤1

解得-2≤a＜0，没有上式a大；
故选C．

点评：本题考查函数与不等式的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．