Question

在区间[-1，1]上任取两数a，b，求二次方程x²+2ax+b²=0
（1）有实数根的概率；
（2）有两个正数实数根的概率．

Answer 1

解：如下图所示：
试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}（图中矩形所示）．其面积为4．
构成事件“关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根”的区域为
，解可得（如图阴影所示）．
如图所示，正方形中阴影部分面积与正方形面积之比即为所求概率．
∴
（2）由二次方程x²+2ax+b²=0有两正根可得：，解可得|a|＞|b|且a＜0，
又由a、b∈[-1，1]，
其对应的区域为图中左边的阴影部分，
阴影部分面积与正方形面积之比即为所求概率，其结果为（1）的一半，
即．
分析：（1）本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（a，b）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x²+ax+b²=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．
（2）本题利用几何概型求解．先将二次方程x²+ax+b²=0的两根都是正数的a，b必须满足的条件列出来，再在坐标系aob中画出区域，最后求出面积比即可．
点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出关于x的一元二次方程x²+ax+b²=0有实根（正根）的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．