Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6为正方形，PA=PD，
PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）连接BD与AC相交于点O，连接EO．先证PB∥OE，再由线线平行证明线面平行；
（II）由已知PA⊥平面PDC，由面面垂直的判定定理可证面面垂直；
（III）取AD中点F，连接PF，由PA=PD，得PF⊥AD．可证PF为四棱锥的高，求出PF，利用棱锥的体积公式计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接BD与AC相交于点O，连接EO．
∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD中点．
∵E为棱PD的中点，∴PB∥EO．
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴PB∥平面EAC．
（Ⅱ）证明：PA⊥平面PDC，∴PA⊥CD．          
∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．                      
∴平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：取AD中点F，连接PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，
又∵PA⊥平面PDC，∴PA⊥PD，∴△PAD为等腰直角三角形．
∵AD=6，∴PF=3．
∴VP-ABCD=

1

3

AB•AD•PF=

1

3

×6×6×3=36．

点评：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质及面面垂直的判定，考查了棱锥的体积公式，考查了学生的推理论证能力，综合性强．