Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀=55，S₂₀=210．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

an+1

，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得b₁、b_m、b_k成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出其首项和公差，直接利用S₁₀=55，S₂₀=210求出首项和公差即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出bn=

an

an+1

=

n

n+1

，再代入b₁、b_m、b_k成等比数列对应的等量关系，求出m、k之间的关系式，再利用题中k＞m≥2，k，m∈N^*，即可求出对应的m、k的值．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则Sn=na1+

n(n-1)

2

d．（1分）
由已知，得

10a1+ 10×9 2 d=55 20a1+ 20×19 2 d=210.

（3分）
即

2a1+9d=11 2a1+19d=21.

解得

a1=1 d=1.

（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=n（n∈N^*）．（6分）
（2）假设存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b₁、b_m、b_k成等比数列，
则b_m²=b₁b_k．（7分）
因为bn=

an

an+1

=

n

n+1

，（8分）
所以b1=

1

2

，bm=

m

m+1

，bk=

k

k+1

．
所以(

m

m+1

)2=

1

2

×

k

k+1

．（9分）
整理，得k=

2m2

-m2+2m+1

．（10分）
因为k＞0，所以-m²+2m+1＞0．（11分）
解得1-

2

＜m＜1+

2

．（12分）
因为m≥2，m∈N^*，
所以m=2，此时k=8．
故存在m=2、k=8，使得b₁、b_m、b_k成等比数列．（14分）

点评：本题第一问主要考查利用等差数列的前n项和求数列{a_n}的通项公式以及等比关系的确定，是对等差数列，等比数列基础知识的考查．作这一类型题目，一般是设出基本量，利用已知条件列出等量关系，再进行求解即可．