题目内容

已知椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0），半焦距为c（c＞0），且满足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i为虚数单位），经过椭圆的左焦点F（-c，0），斜率为k₁（k₁≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当k1=1时，求S_△AOB的值；
（3）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k₂，求证： $数学公式$ 为定值．

（1）解：∵（2a-3c）+（a-c）i=i，∴2a-3c=0且a-c=1，∴a=3，c=2
∴b²=a²-c²=5，
故椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）解：由（1）知F（-2，0），∴直线AB的方程为y=x+2，
代入椭圆方程，消去y可得14x²+36x-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂=- $\text{[math]}$
∴|AB|= $\text{[math]}$ |x₁-x₂|= $\text{[math]}$
设O点到直线AB的距离为d，则d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S_△AOB= $\text{[math]}$ |AB|•d= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（3）证明：设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由已知，直线AR的方程为y= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
代入椭圆方程消去x并整理，得 $\text{[math]}$
则y₁y₃=- $\text{[math]}$ ，∴y₃= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴C（ $\text{[math]}$ ）
同理D（ $\text{[math]}$ ）
∴k₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₂（x₂+2），
∴k₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）根据（2a-3c）+（a-c）i=i，可求a，c的值，利用b²=a²-c²=5，即可求椭圆Γ的方程；
（2）设直线AB的方程为y=x+2，代入椭圆方程，消去y可得14x²+36x-9=0，求出|AB|，O点到直线AB的距离为d，即可求S_△AOB的值；
（3）求出直线AR的方程，代入椭圆方程消去x并整理，从而可得C的坐标，同理可得D的坐标，进而可求斜率，化简，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．