Question

已知函数f（x）=2lnx-x．
（1）写出函数f（x）的定义域，并求其单调区间；
（2）已知曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线是y=kx-2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）先求出在x=x₀处的导数，求出切线的斜率，又过点（x₀，f（x₀））求出切线方程，利用所求切线与y=kx-2是同一直线，建立等量关系，求出k即可．

解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的定义域为：（0，+∞）．（1分）
∵f（x）=2lnx-x，∴f′(x)=

2

x

-1．
令f'（x）=0，则x=2．（3分）
当x在（0，+∞）上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表
∴函数y=f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）由题意可知：f（x₀）=2lnx₀-x₀，（7分）
曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线的斜率为k=f′(x0)=

2

x0

-1．（8分）
∴切线方程为：y-f(x0)=(

2

x0

-1)(x-x0)．（9分）
∴y-(2lnx0-x0)=(

2

x0

-1)(x-x0)．
∴y=(

2

x0

-1)x+2lnx0-2．（10分）
∵切线方程为y=kx-2，
∴2lnx₀-2=-2．
∴x₀=1．
∴曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线的斜率k=

2

x0

-1=1．（13分）

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，曲线某点处的切线等基础知识，考查利用数学知识分析问题、解决问题的能力．