Question

已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l₁：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交与M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．
（I）求圆A的方程；
（Ⅱ）当MN=2

19

时，求直线l的方程；
（Ⅲ）

BQ

•

BP

是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设出圆A的半径，根据以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l₁：x+2y+7=0相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；
（II）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（-2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；
（III）由直线l过点B（-2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论

BQ

•

BP

是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．

解答：解：设圆A的半径为R，由于圆A与直线l₁：x+2y+7=0相切，
∴R=

|-1+4+7|

5

=2

5

…．（2分）
∴圆A的方程为（x+1）²+（y-2）²=20…．（4分）
（II） ①当直线l与x轴垂直时，易知x=-2符合题意…（5分）
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
连接AQ，则AQ⊥MN
∵MN=2

19

，∴AQ=

20-19

=1，…（6分）
则由AQ=

|k-2|

k2+1

=1，得k=

3

4

，∴直线l：3x-4y+6=0．
故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0…（9分）
（III）∵AQ⊥BP，∴

BQ

•

BP

=(

BA

+

AQ

)•

BP

=

BA

•

BP

+

AQ

•

BP

=

BA

•

BP

…（10分）
①当l与x轴垂直时，易得P(-2， -

5

2

)，则

BP

=(0，-

5

2

)，又

BA

=(1，2)，
∴

BQ

•

BP

=

BA

•

BP

=-5…（11分）
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），
则由

y=k(x+2) x+2y+7=0

，得P（

-4k-7

1+2k

，

-5k

1+2k

），则

BP

=(

-5

1+2k

，

-5k

1+2k

)
∴

BQ

•

BP

=

BA

•

BP

=

-5

1+2k

+

-10k

1+2k

=-5
综上所述，

BQ

•

BP

是定值，且

BQ

•

BP

=-5．…（14分）

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，圆的标准方程，其中（I）的关键是求出圆的半径，（II）的关键是根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距（即圆心到直线的距离），（III）中要注意讨论斜率不存在的情况，这也是解答直线过定点类问题的易忽略点．