Question

4．如图，已知点S是△ABC所在平面外的一点，且SA⊥平面ABC，三角形ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AC=1，SB=2$\sqrt{3}$．
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求直线SC和平面SAB所成的角（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面SAC，进一步转化成线线垂直．
（2）利用线面垂直先做出直线与平面的夹角，进一步利用勾股定理和射影定理及相关的运算求出直线与平面的夹角．

解答 证明：（1）已知点S是△ABC所在平面外的一点，且SA⊥平面ABC，
所以：SA⊥BC，
△ABC直角三角形，∠ACB=90°，
所以：AC⊥BC．
BC⊥平面SAC．
所以：SC⊥BC．
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AC=1，
解得：$BC=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，过点D作CD⊥AB，连接SD，
由于：SA⊥平面ABC，
所以：平面SAC⊥平面ABC．
所以：
CD⊥平面SAB．
所以：∠CSD就是直线SC和平面SAB所成的角．
在△ABC中，利用面积相等，
所以：$\frac{1}{2}•AC•BC=\frac{1}{2}•AB•CD$
解得：$CD=\frac{1}{2}$．
在Rt△SAB中，利用勾股定理：
SA²+AB²=SB²
由于SB=2$\sqrt{3}$．$AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得：$SA=\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
在△ABC中，AC²=AD•AB
解得：AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
在△ACS中，解得：SC=$\frac{\sqrt{105}}{3}$
所以：sin∠CSD=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{105}}{3}}=\frac{\sqrt{105}}{70}$
即：直线SC和平面SAB所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{105}}{70}$．

点评 本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用解直角三角形知识，勾股定理的应用，及相关的运算问题．