Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接交于点，点为中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）利用三角形的中位线性质可得，然后再利用线面平行的判定定理即可证出.

（2）根据题意可证，，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理即可证出.

（3）方法一：利用等体法即可求解；方法二：利用综合法，作，垂足为，连接，作，垂足为，证出为点到平面的距离，在直角中，求解即可.

（1）直三棱柱，四边形为平行四边形

为的中点 为的中点，

又平面，平面，平面

（2）四边形为平行四边形，

平行四边形为菱形，即

三棱柱为直三棱柱

平面

平面

，

，，平面

平面

平面，，

，，平面，

平面，

平面 ，

平面平面

（3）法一：(等体积法)连接，设点到平面的距离为

平面，平面，

，为三棱锥高，

在直角中，，.

在直角中，，.

在直角中，，，.

在等腰中，，

，

，

点到平面的距离为

方法二：(综合法)作，垂足为，连接，作，垂足为.

平面，平面

，，平面

平面

平面

，，平面，

平面， 即为点到平面的距离，

在直角中， ；在直角中， ，

点到平面的距离为.