Question

【题目】如图,棱长为的正方体的顶点在平面内,三条棱,,都在平面的同侧. 若顶点,到平面的距离分别为,;

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值;

（2）求顶点到面的距离.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）作平面于,平面于,连接.过点作,垂足为点.利用勾股定理可得:..利用余弦定理可得,可得,设平面与平面所成锐二面角为,利用,即可得答案.

（2）过作平面平行于面,由（1），即可求得到平面.连接和相交于,因为是直角梯形,根据梯形中位线可知,到底面距离为,即可求出到底面距离.进而求得顶点到面的距离.

（1）如图,

作平面于,平面于,连接

过点作,垂足为点.

可得: ,

设平面与平面所成锐二面角为

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

（2）过作平面平行于面,由（1），

得到平面为:

连接和相交于,因为是直角梯形,如图:

根据梯形中位线可知,到底面距离为,

在中根据三角形中位线可知到底面距离为:.

得顶点到面的距离: .