题目内容
如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线
上的点，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x轴正半轴上的点，且△AA1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A为坐标原点）．（1）写出an-1、an和xn之间的等量关系，以及an-1、an和yn之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列{an}的通项公式；
（3）设
，集合B={b1，b2，b3，…，bn，…}，A={x|x2-2ax+a2-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．
【答案】分析：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，
，
．
（2）由
得 
=
，即
，猜测
，
再用数学归纳法进行证明．
（3）用裂项法求得
的值为
，由函数
在区间
[1，+∞）上单调递增，且
，求得
，再由 A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}=
{x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或
，由此求得实常数a的取值范围．
解答：解：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，
，
．…（4分）
（2）由
得 
=
，
即
，猜测
． …（2分）
证明：①当n=1时，可求得
，命题成立． …（1分）
②假设当n=k时，命题成立，即有
，…（1分）
则当n=k+1时，由归纳假设及
，
得
，
即
解得
，（
不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立． …（3分）
综上所述，对所有n∈N*，
． …（1分）
（3）
=
=
．…（2分）
因为函数
在区间[1，+∞）上单调递增，且
，
所以
．…（2分）
A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
由A∩B=φ，有a+1≤0，或
，
故，
，即 实常数a的取值范围为 
．…（2分）
点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用裂项法对数列求和，两个集合的交集的定义的应用，属于难题．
，．（2）由
得 =，即，猜测，再用数学归纳法进行证明．
（3）用裂项法求得
的值为，由函数在区间[1，+∞）上单调递增，且
，求得，再由 A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或
，由此求得实常数a的取值范围．解答：解：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，
，．…（4分）（2）由
得 =，即
，猜测． …（2分）证明：①当n=1时，可求得
，命题成立． …（1分）②假设当n=k时，命题成立，即有
，…（1分）则当n=k+1时，由归纳假设及
，得
，即
解得
，（不合题意，舍去），即当n=k+1时，命题成立． …（3分）
综上所述，对所有n∈N*，
． …（1分）（3）
==．…（2分）因为函数
在区间[1，+∞）上单调递增，且，所以
．…（2分）A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
由A∩B=φ，有a+1≤0，或
，故，
，即 实常数a的取值范围为 ．…（2分）点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用裂项法对数列求和，两个集合的交集的定义的应用，属于难题．
练习册系列答案
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