Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=n2+2n
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，求证：Tn＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{a_n}的通项公式．
（2）利用裂项法求出数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵Sn=n2+2n，
∴n≥2时，Sn-1=(n-1)2+2(n-1)
两式相减可得a_n=2n+1
∵n=1时，a₁=S₁=3满足上式
∴a_n=2n+1…（6分）
（2）证明：∵

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)…（9分）
∴Tn=

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

1

6

…（12分）

点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确求和是关键．