Question

（2012•邯郸一模）已知函数f（x）=

ax-1

ex

．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意t∈[

1

2

，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导数，由导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（II）若对任意t∈[

1

2

，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈[

1

2

，2]时，

ax-1

ex

＞x恒成立，即x∈[

1

2

，2]时，a＞ex+

1

x

恒成立，确定右边函数的最大值即可．

解答：解：（I）当a=1时，f(x)=

x-1

ex

，∴f′(x)=

-x+2

ex

由f′（x）＞0得x＜2，f′（x）＜0得x＞2
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，2），单调递减区间为（2，+∞）．
（II）若对任意t∈[

1

2

，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈[

1

2

，2]时，

ax-1

ex

＞x恒成立，
即x∈[

1

2

，2]时，a＞ex+

1

x

恒成立
设g(x)=ex+

1

x

，x∈[

1

2

，2]，则g′(x)=ex-

1

x2

，x∈[

1

2

，2]，
设h(x)=ex-

1

x2

，∵h′(x)=ex+

2

x3

＞0在x∈[

1

2

，2]上恒成立
∴h（x）在x∈[

1

2

，2]上单调递增
即g′(x)=ex-

1

x2

在x∈[

1

2

，2]上单调递增
∵g′(

1

2

)=e

1

2

-4＜0，g′(2)=e2-

1

4

＞0
∴g′(x)=ex-

1

x2

在[

1

2

，2]有零点m
∴g(x)=ex+

1

x

在[

1

2

，m]上单调递减，在（m，2]上单调递增
∴

a＞g( 1 2 ) a＞g(2)

，即

a＞ e +2 a＞e2+ 1 2

，
∴a＞e2+

1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．