Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m）
（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）的最小值，并求此时x的值；
（Ⅱ）当x∈[0， 

π

6

]时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m），将m=-1代入我们易求出函数f（x）的解析式，然后根据正弦型函数求最值的方法，即可求出函数f（x）的最小值，并求此时x的值；
（2）由当x∈[0， 

π

6

]时，-4＜f（x）＜4恒成立，我们可以构造关于实数m的不等式，解不等式即可得到实数m的取值范围．

解答：解：f(c)=2cos2x+

3

sin2x+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin(2x+

π

6

)+m+1
（Ⅰ）当m=-1时，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

  (k∈Z)时，
函数f（x）取最小值，f（x）_min=-2，
此时x=kπ-

π

3

  (k∈Z)
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

6

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

故

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴2+m≤f（x）≤3+m
依题意当x∈[0，

π

6

]时，
-4＜f（x）＜4恒成立
∴

f(x)min＞-4  f(x)max＜4

，
即

2+m＞-4 3+m＜4

解得-6＜m＜1，为所求的实数m的取值范围

点评：本题考查的知识点是平面向量数量积运算，及正弦型函数的最值及性质，函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|，周期T=

2π

ω

进行求解．