题目内容

已知点M，N的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线MP，NP相交于点P，且它们的斜率之积是 $数学公式$ ，点P的轨迹记为D．△ABC的顶点A，B在D上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求曲线D的方程；
（2）若AB边通过坐标原点O，求AB的长及△ABC的面积；
（3）若线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点，求△ABC的外接圆面积最大时线段AB所在直线的方程．

解；（1）设点P的坐标（ x，y），由条件得： $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-1，化简得：曲线D的方程为：x²+y²=4，表示一个圆．
（2）∵点A，B在D上，AB边通过坐标原点O，故AB边是圆的直径，∴AB=4，且AB方程为：y=x，
AB与直线l之间的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，△ABC的面积S= $\text{[math]}$ |AB|•d= $\text{[math]}$ ．
（3）∵线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点，
∴线段AC的中点是△ABC外接圆的圆心，且AB⊥BC，∴点C还在圆x²+y²=4 上，
外接圆半径r= $\text{[math]}$ AC，又AC最大为圆x²+y²=4 的直径4，
∴r= $\text{[math]}$ AC的最大值是2，此时，A（0，-2），C（0，2）
AB方程为y+2=1•（x-0），即：x-y-2=0．
分析：（1）直接根据题中条件求曲线D的方程．
（2）坐标原点是曲线D的圆心，故AB边是圆的直径，AB与直线l之间的距离为△ABC的高，，△ABC的面积S= $\text{[math]}$ |AB|•d
（3）圆心在弦的中垂线上，直径对的圆周角等于90度，当所求圆的半径最大时，所求圆的面积最大．
点评：本题主要考查求曲线的方程，综合运用圆的性质，直线和圆的位置关系，属于难题．