Question

已知函数f （x）=ax²+bx+

1

4

与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为______．

Answer 1

∵已知函数f （x）=ax²+bx+

1

4

与直线y=x相切于点A（1，1），
f′（x）=2ax+b，
∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+

1

4

=1②，
联立方程①②可得a=

1

4

，b=

1

2

，
f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
∵对任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，
可得f（x-t）=

1

4

（x-t+1）²≤x，
化简可得，x²-2x（t-1）+（t-1）²-4x≤0，在[1，9]上恒成立，
令g（x）=x²-2x（t+1）+（t-1）²≤0，在[1，9]上恒成立，
∴

g(1)≤0  ① g(9)≤0    ② △≥0           ③

，
解①可得0≤t≤4，
解②可得4≤t≤14，
解③可得t≥4
综上可得：t=4，
故答案为4