Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，过F₂的直线l₁与C₁交于A，B两点，且△ABF₁的周长为，l₁的倾斜角为α．
（I）当l₁垂直于x轴时，
①求椭圆C₁的方程；
②求证：对于?α∈[0，π），总有．
（II）在（I）的条件下，设直线l₂与椭圆交于C，D两点，且OC⊥OD，过O作l₂的垂线交l₂于E，求E的轨迹方程C₂，并比较C₂与C₁通径所在直线的位置关系．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得，，当斜率不存在时，l₁：x=c，，；当时，设l₁：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由焦半径公式可得，，故．由此能导出对于?α∈[0，π），总有．
（II）当斜率存在时，设l₂：y=tx+b，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），，，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
解答：解：（I）①由题意可得，
当斜率不存在时，l₁：x=c
故，
②当时，设l₁：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由焦半径公式可得，
故，
，
故
故成立
当时，由题意成立
故对于?α∈[0，π），总有．
（II）当斜率存在时，设l₂：y=tx+b，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
△＞0⇒2t²-b²+1＞0
故，
原点O到l₂的距离为为定值
故E的轨迹方程为，
当斜率不存在时，解得或均在E上
综上可得，E的轨迹方程C₂为，
C₁通径所在的方程为x=±1
故两者相离．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用椭圆性质，注意合理地进行等价转化．