题目内容

下面四个命题：①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②把函数y=3sin（2x+ $数学公式$ ）的图象向右平移 $数学公式$ 个单位，得到y=3sin2x的图象；
③函数f（x）=ax²-lnx的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则（ $数学公式$ ，+∞）是f（x）的单调递增区间；
④正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1：3；
其中所有正确命题的序号为________．

①③④
分析：根据含有量词的命题的否定的方法，得到①正确；根据函数图象平移的规律，得到②错误；根据导数的几何意义，结合利用导数判断函数单调性的方法，得到③正确；根据正方体的结构特征，结合球的表面积公式，得到④正确．
解答：对于①，它是一个含有量词的命题
“?x∈R，x²-x＞0”即“存在x∈R，使得x²-x＞0成立”，其否定应该是不存在满足条件的x．
也就是说，对于任意的x∈R，都有x²-x≤0，即“?x∈R，x²-x≤0”，故①正确；
对于②，设F（x）=3sin（2x+ $\text{[math]}$ ），图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，应该得到F（x- $\text{[math]}$ ）=3sin（2x- $\text{[math]}$ ），
而不是y=3sin2x的图象，故②错误；
对于③，若函数f（x）=ax²-lnx的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，
说明f′（1）=1，而 $\text{[math]}$
所以2a-1=1，得a=1，函数表达式为f（x）=x²-lnx
∴ $\text{[math]}$ ，当x∈（ $\text{[math]}$ ，+∞），f′（x）＞0，函数为增函数，故③正确；
对于④，设正方体的棱长为a，则它的内切球半径为 $\text{[math]}$ ，表面积为 $\text{[math]}$ =4πa²，
而正方体的外接球半径为 $\text{[math]}$ ，可得外接球的表面积为 $\text{[math]}$ =12πa²
∴内切球与其外接球的表面积之比为1：3，故④正确
故答案为：①③④
点评：本题综合了含有量词的命题的否定、导数的几何意义、运用导数判断函数的单调性和球的内接外切等知识点，考查了命题真假的判断，属于中档题．