Question

椭圆的中心在原点，焦点在轴上，，过点的直线交椭圆于两点，且满足．

（1）若为常数，试用直线的斜率表示的面积；

（2）若为常数，当的面积取最大值时，求椭圆的方程；

（3）若变化且，试问：实数和直线的斜率分别为何值时，椭圆的短半轴取得最大值，并求此时椭圆的方程．

Answer 1

（1）  （2）  （3）

解析:

设椭圆方程为．

       由，，得．

       故椭圆方程为．        ①

       （1）因为直线交椭圆于，两点，

       并且．

．

即

把代入椭圆得且．

，             ③

．                 ④

因此，．

联立②③得．

（2），

当且仅当时，即时，取得最大值，此时．

又，

，，

将，代入④，得．

故椭圆方程为．

（3）由②③联立得，，

把代入④得．

易知，时，是的减函数，

故当时，．

当，时，椭圆短半轴取得最大值，

此时椭圆方程为．