Question

对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]D和常数c，使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂[a，b]时，f（x₂）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（1）判断f₁（x）=|x﹣1|+|x﹣2|和f₂（x）=x+|x﹣2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）若函数是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．

Answer 1

解：（1）对于函数f₁（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，
当x∈[1，2]时，f₁（x）=1．
当x＜1或x＞2时，f₁（x）＞|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1恒成立，
故f₁（x）是“平底型”函数．
对于函数f₂（x）=x+|x﹣2|，
当x∈（﹣∞，2]时，f₂（x）=2；
当x∈（2，+∞）时，f₂（x）=2x﹣2＞2．
所以不存在闭区间[a，b]，使当x[a，b]时，f（x）＞2恒成立．
故f₂（x）不是“平底型”函数；
（2）由“平底型”函数定义知，存在闭区间[a，b][﹣2，+∞）和常数c，
使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+=c，
即=c﹣mx
所以x²+2x+n=（c﹣mx）² 恒成立，
即x²+2x+n=m²x²﹣2cmx+c²对任意的x∈[a，b]成立
所以，
所以或
①当时，g（x）=x+|x+1|．
当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣1，
当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=2x+1＞﹣1恒成立．
此时，g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数
②当时，g（x）=﹣x+|x+1|．
当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣2x﹣1≥1，
当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数．
综上分析，m=1，n=1为所求