Question

20．在矩形ABCD中，已知$AB=\sqrt{3}，AD=2$，点E是BC的中点，点F在CD上，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}$=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$的值是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 以BC，BA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，使用坐标表示出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BF}$，代入公式计算即可．

解答 解：分别以BC，BA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图：
则A（0，$\sqrt{3}$），B（0，0），E（1，0），设F（2，m）
∴$\overrightarrow{AE}$=（1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AF}$=（2，m$-\sqrt{3}$）．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}$=-$\sqrt{3}$（m-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴m=$\sqrt{3}$-1，
∴$\overrightarrow{BF}$=（2，$\sqrt{3}-1$）．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$=2-$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}-1$）=$\sqrt{3}$-1．
故答案为 $\sqrt{3}-1$．

点评 本题考查了平面向量在集合中的应用，建立恰当的坐标系是解题关键，属于中档题．