Question

已知直线（a-2）y=（3a-1）x-1    
①求证：无论a为何值时直线总经过第一象限； 
②为使这直线不过第二象限，求a的范围．

Answer 1

分析：①将方程整理为a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，对任意实数a恒过直线3x-y=0 与x-2y+1=0 的交点，解方程组求得交点的坐标．
②a=2时，直线x=

1

5

不过第二象限．当a≠2时直线方程化为：y=

3a-1

a-2

x-

1

a-2

，此直线不过第二象限的充要条件为

3a-1 a-2 ＞0 -1 a-2 ≤0

，由此解得a的范围．综合求得a的范围．

解答：解：①应用过定点的直线系方程，将方程整理为a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，
对任意实数a恒过直线3x-y=0 与x-2y+1=0 的交点为（

1

5

，

3

5

），
∴直线系恒过第一象限内的定点为（

1

5

，

3

5

）．
②a=2时直线x=

1

5

 不过第二象限，当a≠2时直线方程化为：y=

3a-1

a-2

x-

1

a-2

，
此直线不过第二象限的充要条件为

3a-1 a-2 ＞0 -1 a-2 ≤0

，解得a＞2．
总上：a≥2时，直线不过第二象限．

点评：本题主要考查直线过定点问题，确定直线位置关系的几何要素，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．