Question

（2012•广元三模）正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为

（π-arcos

1

3

）

6

4

（或

6

4

arcos（-

1

3

））

．

Answer 1

分析：由题意求出外接球的半径，然后求出∠AOB的大小，即可求解其外接球球面上A、B两点间的球面距离．

解答：解：正四面体的棱长为1，所以面上的高为

3

2

，面中心到顶点的距离为

3

3

，
所以正四面体的高为：

1-( 3 3 )2

=

6

3

．
正四面体的内切球半径为r，由等体积法知，4×

1

3

s×r=

1

3

s×

6

3

，（s是正四面体的底面面积），
∴r=

6

12

，
正四面体的外接球的半径为：

6

3

-

6

12

=

6

4

．
设球心为O．
∴cos∠AOB=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-12

2× 6 4 × 6 4

=-

1

3

，
∠AOB=π-arccos

1

3

，
外接球球面上A、B两点间的球面距离为：

6

4

(π-arccos

1

3

)．
故答案为：

6

4

(π-arccos

1

3

)．（或

6

4

arcos（-

1

3

））

点评：本题考查正四面体的外接球的球面距离的求法，考查空间想象能力，计算能力．