Question

在三棱锥A-BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=a，∠ABC=30°，则点C到平面ABD的距离是（　　）

• A．

  5

  5

  a
• B．

  15

  5

  a
• C．

  3

  5

  a
• D．

  15

  3

  a

Answer 1

分析：先证明BD⊥平面ACD，可得△ABD是直角三角形，分别计算△ABD、△BCD的面积，利用V_C-ABD=V_A-BCD，可求点C到平面ABD的距离．

解答：解：∵AC⊥平面BCD，BC、BD?平面BCD，
∴AC⊥BC，BD⊥AC，
∵BD⊥DC，AC∩CD=D，
∴BD⊥平面ACD，
∵AD?平面ACD，
∴BD⊥AD，
∴△ABD是直角三角形，
∵AC=a，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2a，BC=

3

a，
∵△DBC是等腰直角三角形，
∴BD=CD=

2

2

BC=

6

2

a，
∴S_△BCD=

1

2

×BD×CD=

3

4

a²，
∵AD=

AB2-BD2

=

10

2

a，
∴S_△ABD=

1

2

×AD×BD=

15

4

a²，
设C到平面ABD距离为d，
由V_C-ABD=V_A-BCD，可得

1

3

×

15

4

a²×d=

1

3

×

3

4

a²×a
∴d=

15

5

a．
故选B．

点评：本题考查点到平面间距离的计算，考查三棱锥的体积，正确运用等体积，是解题的关键．