Question

【题目】函数y=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．
（1）求此函数解析式；
（2）写出该函数的单调递增区间；
（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（ ）＞Asin（ ）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．

∴A= [3﹣（﹣3）]=3， =5π，

∴T=10π= ，

∴ω= = ，

∵当x=π时，y有最大值3，

∴ π+= ，

∴= ，

∴y=3sin（ x+ ），

（2）

解：令 2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ 得10kπ﹣4π≤x≤10kπ+π，k∈Z

∴函数的单调递增区间为：{x|10kπ﹣4π≤x≤10kπ+π k∈Z}；

（3）

解：∵ω= ，= ，

∴ω += + ∈（0， ），

ω += + ∈（0， ），

而y=sint在（0， ）上是增函数

∴ + ＞ + ，

∴ ＞

∴ ，

∴ 解得： ．

∴m的取值范围是 ．

【解析】（1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；（2）令 2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ ，解此不等式，即可求得函数的单调递增区间；（3）根据（1）所求得的ω和φ的值，分析 和 的范围，确定函数在该区间上的单调性，即可求得结果．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．