题目内容
（2011•东城区二模）已知sin(A+
)=
，A∈(
，
)．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=cos2x+
sinAsinx的值域．
| π |
| 4 |
7
| ||
| 10 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=cos2x+
| 5 |
| 2 |
分析：（Ⅰ）先利用同角三角函数基本关系式求cos(A+
)，注意对角的范围的判断，再利用两角差的余弦公式将cosA变换为cos[(A+
)-
]，代入计算即可
（Ⅱ）先将所求函数变换为复合函数f（x）=1-2sin2x+2sinx，再利用三角函数的有界性及配方法求此复合函数的值域即可
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（Ⅱ）先将所求函数变换为复合函数f（x）=1-2sin2x+2sinx，再利用三角函数的有界性及配方法求此复合函数的值域即可
解答：解：（Ⅰ）因为
＜A＜
，且sin(A+
)=
，
所以
＜A+
＜
，cos(A+
)=-
．
因为cosA=cos[(A+
)-
]=cos(A+
)cos
+sin(A+
)sin
=-
•
+
•
=
．
所以cosA=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA=
．
所以f(x)=cos2x+
sinAsinx=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx-
)2+
，x∈R．
因为sinx∈[-1，1]，所以，当sinx=
时，f（x）取最大值
；
当sinx=-1时，f（x）取最小值-3．
所以函数f（x）的值域为[-3，
]．
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
7
| ||
| 10 |
所以
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 10 |
因为cosA=cos[(A+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 10 |
| ||
| 2 |
7
| ||
| 10 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
所以cosA=
| 3 |
| 5 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA=
| 4 |
| 5 |
所以f(x)=cos2x+
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
因为sinx∈[-1，1]，所以，当sinx=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
当sinx=-1时，f（x）取最小值-3．
所以函数f（x）的值域为[-3，
| 3 |
| 2 |
点评：本题考察了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，通过角变换求三角函数值的技巧，复合函数求值域的方法
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