Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小，说明∠APB就是要求的角即可求解．
（Ⅱ）要证明AE⊥平面PCD，只要证明AE⊥CD、AE⊥PC即可．
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小，说明∠AME是二面角A-PD-C的平面角，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）解：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB．
又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．

（Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故CD⊥PA．
由条件CD⊥PA，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
又AE?面PAC，∴AE⊥CD．
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C．综上得AE⊥平面PCD．

（Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM．
由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD．
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
由已知，可得∠CAD=30°．设AC=a，可得PA=a，AD=

2 3

3

a，PD=

21

3

a，AE=

2

2

a．
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，则AM=

PA•AD

PD

=

a• 2 3 3 a

21 3 a

2 7

7

a．
在Rt△AEM中，sinAME=

AE

AM

=

14

4

．
所以二面角A-PD-C的大小arcsin

14

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．