Question

已知等差数列{a_n}的前n项和胃S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若从数列{a_n}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2ⁿ项，…，按原来顺序组成一个新数列{b_n}，记该数列的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer 1

（1）设等差数列的公差为d，则
∵S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列，
∴3a₁+3d+5a₁+10d=50，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∵公差d≠0，∴a₁=3，d=2
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1；
（2）据题意得b_n=a2n=2×2ⁿ+1．
∴数列{b_n}的前n项和公式：T_n=（2×2+1）+（2×2²+1）+…+（2×2ⁿ+1）=2×（2+2²+…+2ⁿ）+n=2×

2(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺²+n-4．