题目内容

已知函数f(x)=sin2x+cos(2x-
π
6
)，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间．
（2）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值以及相应的x的值．
分析：（1）利用三角函数公式把f(x)=sin2x+cos(2x-
π
6
)等价转化为f(x)=
3
sin(2x+
π
6
)，由此能求出函数f（x）的最小正周期和单调减区间．
（2）由0≤x≤
π
2
，知
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，由此能求出函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值以及相应的x的值．
解答：解：（1）f(x)=sin2x+cos(2x-
π
6
)
=sin2x+cos2xcos
π
6
+sin2xsin
π
6
=
3
2
sin2x+
3
2
cos2x
=
3
(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)=
3
sin(2x+
π
6
)…（4分）
∴最小正周期T=
2π
2
=π，…（5分）
减区间：2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z
解得2kπ+
π
3
≤2x≤2kπ+
4π
3
，k∈Z
所以单调减区间为[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
](k∈Z)…（7分）
（2）∵0≤x≤
π
2
，
∴
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，…（9分）
∵f(x)=
3
sin(2x+
π
6
)，
当2x+
π
6
=
7π
6
，即x=
π
2
时，函数有最小值-
3
2
，
当2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
时，函数有最大值
3
．…（13分）
点评：本题考查三角函数的恒等变换的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意三角函数图象和性质的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
2009
2010
．
（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面积S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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