Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x-1|≥1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）≥2的解集；
（2）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，根据一次函数的单调性可得函数在R上先减后增，
得到函数的最小值为f（1）+|1-1|=f（1）=a-1，而不等式f（x）+|x-1|≥1解集为R即a-1≥1恒成立，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=2时，f(x)=|x-1|+|x-2|=

-2x+3，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

，
由于f（x）≥2，
则①当x＜1时，-2x+3≥2，∴x≤

1

2

；
②当1≤x≤1时，1≥2，无解；
③当x＞2时，2x-3≥2，∴x≥

5

2

．
综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（-∞，

1

2

]∪[

5

2

，+∞）；
（2）令F（x）=f（x）+|x-1|，则F(x)=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

，
所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a-1，
只需a-1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力．第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用函数的单调性求出最小值证明恒成立问题．