Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$2{cos^2}\frac{A-B}{2}cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=$\frac{π}{2}$，求tanC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角余弦公式的变形、两角和的余弦公式化简式子，再由内角和定理和诱导公式即可求出cosA的值，由内角的范围求出角A；
（Ⅱ）由条件可得AD和∠DAC，在△ACD中利用正弦定理化简列出方程，再由内角的关系求出角B并代入式子，利用两角差的正弦公式化简即可求出tanC．

解答 解：（Ⅰ）因为$2co{s}^{2}\frac{A-B}{2}cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$，
所以$[1+cos（A-B）]cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$，
$cosB+cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$，
$cosB+cosA+cos（A+C）=-\frac{1}{2}$，
因为cos（A+C）=cos（π-B）=-cosB，
所以代入上式可得，$cosA=-\frac{1}{2}$，则A=$\frac{2π}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）因为∠DAB=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{2π}{3}$，所以AD=BD•sinB，∠DAC=$\frac{π}{6}$．
在△ACD中，由正弦定理得：$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{CD}{sin∠DAC}$，
因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，
由B=π-A-C=$\frac{π}{3}$-C得，3sin（$\frac{π}{3}$-C）=2sinC，
则$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{3}{2}$sinC=2sinC，即$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosC=$\frac{7}{2}$sinC，
整理得tanC=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理，两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角余弦公式的变形，注意三角形内角的关系以及范围，属于中档题．