Question

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x在[-1，1]上是单调增函数，其中e是自然对数的底数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，分a=0和a≠0两种情况讨论，a≠0时由导函数的判别式大于0可知导函数有两个零点，分a＞0和a＜0两种情况进一步讨论，可知a＞0时不合题意，a＜0时需要导函数在[-1，1]上恒大于等于0列式求a的取值范围．

解答：解：由f（x）=（ax²+x）e^x，得
f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
所以g（x）有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）g（0）=-a＜0，
所以f（x）在（-1，1）内有极值点，
故f（x）在[-1，1]上不单调．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，必须满足

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

3a+2≥0 -a≥0

，所以-

2

3

≤a＜0．
综上可知，a的取值范围是[-

2

3

，0]．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了方程的根与二次函数的图象之间的关系，属中档题．