Question

已知数列{a_n}满足a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意非零实数x，都有an≥

2

x

-

1

x2

-

2

3nx2

，n=1，2，…成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取倒数，构造新数列，证明{

1

an

-1}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，从而可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据通项，作差配方，证明其小于等于0即可．

解答：（Ⅰ）解：∵an+1=

3an

2an+1

，∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)…（2分）
又

1

an

-1=

2

3

，
∴{

1

an

-1}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列…（4分）
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3n-1

=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知an=

3n

3n+2

＞0，

1

an

=1+

2

3n

，
∵

2

x

-

2

3nx2

-

1

x2

-an=

2

x

-

1

x2

(

2

3n

+1)-an=

2

x

-

1

x2an

-an=-(

an

-

1

x an

)2≤0，
∴原不等式成立．…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，构造新数列是关键．