Question

已知抛物线y²=2px经过点M（2，-2

2

），椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为

1

2

．
（1）求抛物线与椭圆的方程；
（2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上一点，

|OP|

|OQ|

=λ（λ≠0），试求点Q的轨迹．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线y²=2px经过点M（2，-2

2

），确定抛物线方程，利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为

1

2

，求出几何量，即可求椭圆方程；
（2）设出P，Q的坐标，表示出

|OP|

|OQ|

=λ（λ≠0），分类讨论，即可得出点Q的轨迹．

解答：解：（1）∵抛物线y²=2px经过点M（2，-2

2

），
∴8=4p，∴p=2
∴抛物线的方程为y²=4x，其焦点为F（1，0），∴c=1
∵椭圆的离心率为

1

2

，
∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设Q（x，y），x∈[-2，2]，设P（x，y₀），则

x2

4

+

y02

3

=1
∴y02=3-

3

4

x2
∵

|OP|

|OQ|

=λ（λ≠0），
∴

x2+3- 3 4 x2

x2+y2

=λ2
∴(λ2-

1

4

)x2+λ2y2=3，x∈[-2，2]，
①λ²=

1

4

，即λ=

1

2

时，点Q的轨迹方程为y=±2

3

，x∈[-2，2]，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②λ²＜

1

4

，即0＜λ＜

1

2

时，轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[-2，2]的部分；
③λ²＞

1

4

，即λ＞

1

2

时，轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[-2，2]的部分．

点评：本题考查抛物线、椭圆的标准方程，考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．