Question

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，

m

=（sinA，1），

n

=（cosA，

3

），且

m

∥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，b=2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据向量

m

、

n

的坐标与

m

∥

n

，利用向量平行的条件建立关于A的等式，算出tanA=

3

3

，结合A是三角形的内角，即可算出角A的大小；
（2）根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，算出sinB=

2

2

，可得B=

π

4

或

3π

4

．再由三角形内角和定理与两角和的正弦公式算出sinC的值，利用三角形的面积公式加以计算，即可得出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵

m

=（sinA，1），

n

=（cosA，

3

），且

m

∥

n

．
∴sinA×

3

-cosx=0，可得sinA=

3

3

cosA，化简得tanA=

3

3

，
∵A为三角形的内角，可得A∈（0，π），∴A=

π

6

；
（2）由正弦定理，可得sinB=

bsinA

2

=

2

2

，
∵a＜b，得A＜B，∴B=

π

4

或

3π

4

．
①当B=

π

4

时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

2 (1+ 3 )

4

，
此时△ABC的面积为S△ABC=

1

2

absinC=2(1+

3

)；
②当B=

3π

4

时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

2 ( 3 -1)

4

，
此时△ABC的面积为S△ABC=

1

2

absinC=2(

3

-1)．
综上所述，△ABC的面积为2(1+

3

)或2(

3

-1)．

点评：本题给出以三角形内角的三角函数为坐标的向量互相平行，求角A的大小并依此求△ABC的面积．着重考查了向量的数量积、三角恒等变换公式和解三角形等知识，属于中档题．