Question

定义在R上的函数f(x)的图象关于点(,0)成中心对称，对任意的实数x都有f(x)=-f(x+),且f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 008)的值为

A.-2                B.-1                 C.0                  D.1

Answer 1

D  ∵f(x)的图象关于（，0）对称，

∴f(-x)=-f(x).①

又f(x)=-f(x+),即f(x+)=-f(x).②

由①②得f(-x)=f(x+),令x+=t,

∴f(-t)=f(t),即f(-x)=f(x).∴f(1)=f(-1)=1.

又f(x)=-f(x+),

∴f(x)=-f(x+)=-［-f(x+3)］=f(x+3).

∴f(3)=f(0)=-2.

∴f(1)+f(2)+f(3)=1+1+(-2)=0.

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 008)=f(2 008)=f(1)=1.