Question

已知集合A={x|x²-4ax+2a+6=0，x∈R}，集合B={x|x＜0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（法1）：由A∩B≠∅，可得方程x²-4ax+2a+6=0有负根，分类讨论，（1）恰有一个负根：（2）恰有2个负根，结合二次方程的性质可求
（法2）：由x²-4ax+2a+6=0有负根可得以a=

6+x2

4x-2

（x＜0）有解，构造函数y=

6+x2

4x-2

（x＜0），令t=4x-2＜-2，换元得y=

t2+4t+100

16t

=

1

16

(t+

100

t

+4)，结合基本不等式可求y的范围，进而可求a的范围

解答：解：（法1）：因为A∩B≠∅，所以方程x²-4ax+2a+6=0有负根；…（1分）
设方程的根为x₁，x₂
（1）恰有一个负根：

△=16a2-4(2a+6)＞0 x1x2=2a+6＜0

或

△=16a2-4(2a+16)＞0 x1=0且x2＜0

…（3分）
解得：

a＞ 3 2 或a＜-1 a＜-3

或

a＞ 3 2 或a＜-1 a=-3

…（5分）
即a≤-3…（6分）
（2）恰有2个负根

△≥0 x1x2＞0 x1+x2＜0

…（7分）
解得：

a≥ 3 2 或a≤-1 a＜0 a＞-3

…（8分）
即-3＜a≤-1…（9分）
所以a的取值范围是{a|a≤-1}…（10分）
（法2）：因为x²-4ax+2a+6=0有负根，所以a=

6+x2

4x-2

（x＜0）有解，
设y=

6+x2

4x-2

（x＜0），
令t=4x-2＜-2，换元得y=

t2+4t+100

16t

=

1

16

(t+

100

t

+4)≤-1
所以a≤-1

点评：本题主要考查了二次方程的根的分布，方程的根与系数关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，还要注意基本不等式在求解函数的值域中的应用．