Question

 （本小题满分14分）已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为．

  (1) 求椭圆的方程；

  (2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.

Answer 1

【解析】本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识,  考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识.

（1）解：∵椭圆的离心率,

     ∴.                          …… 2分

        解得.

         ∴ 椭圆的方程为．         …… 4分

（2）解法1：依题意，圆心为．

    由 得.                         

∴ 圆的半径为．                  …… 6分

∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，

∴ ，即．                 

∴ 弦长．   …… 8分

∴的面积                 …… 9分

               

               

                .                         …… 12分

   当且仅当，即时，等号成立.

      ∴ 的面积的最大值为．               …… 14分

解法2：依题意，圆心为．

    由 得.

∴ 圆的半径为．                     …… 6分

   ∴ 圆的方程为．

∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，

∴ ，即．

    在圆的方程中，令，得，

 ∴ 弦长．                            …… 8分

∴的面积                      …… 9分       

               

               

                .                             ……12分

   当且仅当，即时，等号成立.

     ∴ 的面积的最大值为．                …… 14分