Question

正数a、b、c满足条件：（lgab）•（lgbc）=-1，则

c

a

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先设x=lg（bc），根据题意和指数式与对数的互化求出

c

a

，再对x的范围分两类利用基本不等式求x+

1

x

，再由指数函数的性质求出

c

a

的取值范围．

解答：解：设x=lg（bc），则由题意得，lg（ab）=-

1

x

，
由对数的定义得，bc=10^x，ab=10-

1

x

，∴

c

a

=

10x

10- 1 x

=10x+

1

x

，
当x＞0时，由基本不等式得，x+

1

x

≥2，
又因y=10^x在定义域上是增函数，所以

c

a

=10x+

1

x

≥100，
当x＜0时，则-x-

1

x

≥2，即x+

1

x

≤-2，同理可求：

c

a

≤

1

100

综上，所求的取值范围是 （0，

1

100

]∪[100，+∞）．
故答案为：(0，

1

100

]∪[100，+∞)．

点评：本题的考点是指数式和对数互化得应用，即用指对互化的式子将对数的真数用幂的形式表示出来，利用基本不等式和指数函数的单调性求出范围，一定注意基本不等式的条件：“一正二定三相等”．