Question

双曲线x²-y²=1的左焦点为F，点P是双曲线左支上位于x轴上方的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是（　　）

A．（-∞，0]∪[1，+∞）

B．（-∞，0）∪（1，+∞）

C．（-∞，-1）∪[1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析：根据双曲线方程，得到a²=1，b²=1，所以c=

2

，得左焦点为F（-

2

，0）．再设点P（x₀，y₀），可得x₀²-y₀²=1，且x₀＜-1，y₀＞0，根据经过两点的斜率公式，得到PF的斜率关于x₀、y₀的表达式，化简得：KPF=

-sinθ

1+ 2 cosθ

，最后利用换元的方法，结合用导数研究函数的单调性，可得直线PF的斜率的取值范围．

解答：解：设点P（x₀，y₀），根据点P是双曲线左支上位于x轴上方的点，可得
x₀²-y₀²=1，且x₀＜-1，y₀＞0
双曲线x²-y²=1中，a²=1，b²=1
∴c=

a2+b2

=

2

，得左焦点为F（-

2

，0）
因此直线PF的斜率为KPF=

y0

x0+ 2

=

y02

x0+ 2

=

x02-1

x0+ 2

换元：设x0=

1

cosθ

，因为x₀＜-1，所以θ∈（

π

2

，π）且θ≠

3π

4

∴KPF=

-tanθ

1 cosθ + 2

=

-sinθ

1+ 2 cosθ

=f（θ）
∵f'（θ）=(

-sinθ

1+ 2 cosθ

)/=

-cosθ- 2

(1+ 2 cosθ)2

＜0恒成立，
∴f（θ）在（

π

2

，

3π

4

）和（

3π

4

，π）上都是减函数
当θ∈（

π

2

，

3π

4

）时，f（θ）＜f（

π

2

）=-1；
当θ∈（

3π

4

，π）时，f（θ）＞f（π）=0
∴K_PF＜-1或K_PF＞0
故选D

点评：本题借助于双曲线中的一条动直线的斜率取值范围问题，着重考查了双曲线的简单性质和函数的值域与最值等知识点，属于中档题．本题也可以用图象观察的方法得到答案，而题中给出的过程是这个结论的函数理论解释．