题目内容
已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.分析:本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
解:求函数f(x)的导数:
f′(x)=3ax2+6x-1.
(1)当f′(x)<0(x∈R)时,f(x)是减函数,
3ax2+6x-1<0(x∈R)
a<0,
且Δ=36+12a<0
a<-3.
所以,当a<-3时,由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是减函数.
(2)当a=-3时,f(x)=-3x3+3x2-x+1=-3(x-
)3+
,
由函数y=x3在R上的单调性,可知
当a=-3时,f(x)(x∈R)是减函数.
(3)当a>-3时,在R上存在一个区间,其上有f′(x)>0,
所以,当a>-3时,函数f(x)(x∈R)不是减函数.
综上,所求a的取值范围是(-∞,-3］.
点评：二次函数与x轴有相交、相切、相离三种位置关系,抛物线的开口方向由二次项的系数的正、负决定,位置关系由判别式决定.
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=a-
，若f（x）为奇函数，则a=（ ）
| 1 |
| 2x+1 |
A、
| ||
| B、2 | ||
C、
| ||
| D、3 |