题目内容

已知 $数学公式$ ，求下列各式的值．
（1）sinx-cosx；
（2）3sin²x-2sinxcosx+cos²x．

解：（1）∵sinx+cosx= $\text{[math]}$ ，∴x不可能是第三象限角，
∴- $\text{[math]}$ ＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，则sinx-cosx＜0，
又sinx+cosx= $\text{[math]}$ ，平方后得到 1+sin2x= $\text{[math]}$ ，
∴sin2x=- $\text{[math]}$ ∴（sinx-cosx ）²=1-sin2x= $\text{[math]}$ ，
又∵sinx-cosx＜0，
∴sinx-cosx=- $\text{[math]}$ ．
（2）由于 $\text{[math]}$ 及sinx-cosx=- $\text{[math]}$ ．
得：sinx=- $\text{[math]}$ ，cosx= $\text{[math]}$ ．
∴tanx=- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由-π＜x＜0结合条件可知x是第四象限角，从而sinx＜0，cosx＞0，由此可知sinx-cosx＜0．再利用平方关系式求解（sinx-cosx）²=（sinx+cosx）²-4sinxcosx）即可求得答案．
（2）利用条件及（1）的结论得到tanx的表达式，再利用sin²x+cos²x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cos²x，得到tanx的表达式，即可求出结果．
点评：本题利用公式（sinx-cosx）²=（sinx+cosx）²-4sinxcosx．求解时需要开方，一定要注意正负号的取法，注意角x的范围！本题是基础题，考查三角函数的表达式求值的应用，考查计算能力，注意“1”的代换，以及解题的策略．