Question

9．已知三角形ABC的面积为1，tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，求三角形ABC的各边长及外接圆的面积．

Answer 1

分析 tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，可得sinB，cosB，sinC，cosC．sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，由三角形ABC的面积为1，可得$1=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×$$\frac{{a}^{2}sinBsinC}{sinA}$，解得a，同理可得：b，c．利用正弦定理可得$2R=\frac{a}{sinA}$，即可得出外接圆的面积为πR²．

解答 解：∵tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，
∴sinB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosC=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{3}{5}$，
∵三角形ABC的面积为1，
∴$1=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×$$\frac{{a}^{2}sinBsinC}{sinA}$，
解得a=$\sqrt{3}$，
同理可得：b=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．
∵$2R=\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴外接圆的面积为πR²=$\frac{25π}{12}$．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．