Question

已知数列{a_n}满足a₁=，且对任意n∈N^*，都有．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k-a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令，证明：对任意n∈N*，都有不等式成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
∴a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，
即2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
所以
所以数列是以为首项，公差为的等差数列．
（II）由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以
∴=．
因为
当k∈N^*时，一定是正整数，所以是正整数．
所以a_k-a_k+1是数列{a_n}中的项，是第项．
（Ⅲ）证明：由（II）知：，．
下面用数学归纳法证明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²对任意n∈N*都成立．
（1）当n=1时，显然2⁵＞5²，不等式成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，有2^k+4＞（k+4）²，
当n=k+1时，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²
即有：也成立．
综合（i）（ii）知：对任意n∈N^*，都有不等式成立．
分析：（Ⅰ）条件可变形为a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，整理得2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，两边同除以a_na_n+1，可得，从而可得数列是以为首项，公差为的等差数列．
（II）由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以，从而可得=．只需证明是正整数即可．
（Ⅲ）由（II）知：，．下面用数学归纳法证明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²对任意n∈N*都成立．对于当n=k（k∈N*）时，有2^k+4＞（k+4）²，当n=k+1时，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²，从而可证．
点评：本题以数列递推式为载体，考查等差数列的定义，考查不等式的证明，解题的关键是正确利用递推式求通项，掌握数学归纳法的证题步骤．