Question

设函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+5，则函数g（x）=f（log_ax）（0＜a＜1）的单调递增区间是（　　）

• A．[1，

  1

  a

  ]
• B．[

  1

  a

  ，1]
• C．[

  1

  a

  ，+∞)，(0，1]
• D．(-∞，-

  1

  a

  ]，[

  1

  a

  ，+∞)

Answer 1

分析：确定内、外函数的单调性，利用函数g（x）=f（log_ax）（0＜a＜1）的单调递增区间，可得不等式，从而可得结论．

解答：解：∵函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+5，
∴f′（x）=x²+x
由f′（x）≥0，可得x≤-1或x≥0；由f′（x）≤0，可得-1≤x≤0
∵y=log_ax（0＜a＜1）在（0，+∞）上是减函数
∴要求函数g（x）=f（log_ax）（0＜a＜1）的单调递增区间，则-1≤log_ax≤0
∴1≤x≤

1

a

故选A．

点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，确定内、外函数的单调性是关键．