题目内容
（2012•张掖模拟）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，f(
)=
f(x)，且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），则f(
)的值为（ ）
| x |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 2011 |
| 2012 |
分析：根据定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，令x=1得f（1）=1，由f(
)=
f(x)，令x=1得f(
)=
f(1)=
，令x=
，可求出f(
)=
f(
) =
，不断迭代可得f(
)=
，同理可得f(
)=
，再利用当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），可得有f（
）=
，利用f（x）+f（1-x）=1，及f(
)=1-f(
)，即可求得结论．
| x |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3125 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 1250 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 32 |
| 2011 |
| 2012 |
| 1 |
| 2012 |
解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，令x=1得f（1）=1
由f(
)=
f(x)，令x=1得f(
)=
f(1)=
令x=
，可求出f(
)=
f(
) =
从而可得f(
)=
①
∵f（x）+f（1-x）=1，令x=
可得f（
）+f（1-
）=1，∴f（
）=
同理可得f(
)=
②
这样由①②式，有f(
)=f(
)=
∵
＜
＜
，当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），
∴有f（
）≥f(
)=
，f（
）≤f(
)=
∴有f（
）=
由f（x）+f（1-x）=1，f(
)=1-f(
)=1-
=
故选B．
由f(
| x |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
令x=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
从而可得f(
| 1 |
| 3125 |
| 1 |
| 32 |
∵f（x）+f（1-x）=1，令x=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
同理可得f(
| 1 |
| 1250 |
| 1 |
| 32 |
这样由①②式，有f(
| 1 |
| 3125 |
| 1 |
| 1250 |
| 1 |
| 32 |
∵
| 1 |
| 3125 |
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 1250 |
∴有f（
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 3125 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 1250 |
| 1 |
| 32 |
∴有f（
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 32 |
由f（x）+f（1-x）=1，f(
| 2011 |
| 2012 |
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 32 |
| 31 |
| 32 |
故选B．
点评：本题考查抽象函数的性质，考查赋值法的运用，考查函数的单调性，解题的关键是正确赋值及使用夹逼法求值．
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